마이크로소프트 리서치의 연구진이 31년간 풀리지 않던 수학 난제 'KLS 추측'을 인공지능(AI)과의 협력을 통해 완전히 증명했다. 1995년 제안된 이 문제는 고차원 기하학과 확률론의 중앙 과제로 꼽혀왔으며, 해결이 무작위 알고리즘의 효율성을 이해하는 데 핵심적 역할을 한다.

마이크로소프트 리서치 머신러닝·최적화팀의 신입 연구원 Xinzhi Zhang과 협력자는 이번 증명을 10월 4일 arxiv에 공개했다. 이들은 AI 에이전트를 통해 100개 이상의 수학적 후보 접근법을 탐색한 후, 인간 연구원이 가장 유망한 아이디어를 선별해 조합하고 최종 증명을 구성하는 '인간-AI 협력' 방식을 취했다.

KLS 추측의 의미와 역사적 배경

KLS 추측(Kannan-Lovász-Simonovits conjecture)은 고차원 공간에서의 기하학적 원리를 다룬다. 구체적으로는 고차원 확률분포를 두 개의 동일 부피로 나누는 가장 효과적인 '평면 절단'이, 어떤 형태의 절단과도 상수배 이내의 차이만 난다는 것을 주장한다. 즉, 차원이 증가해도 이 비율은 고정된 값으로 유지된다는 의미다.

31년간 수학자들은 이 추측이 참임을 시사하는 증거들을 쌓아왔지만 완전한 증명에는 이르지 못했다. 2017년 미국 수학과학연구소(MSRI)는 이를 "고차원 볼록 기하학의 중앙 문제"로, Simons Institute는 "가장 중요한 미해결 과제" 중 하나로 지목했다. 학계에서 KLS 추측은 통계, 최적화, 알고리즘 이론을 연결하는 핵심 다리 역할을 해왔다.

인간-AI 협력의 구체적 방식

연구진은 먼저 올 7월 발표된 최신 결과를 개선하려 했다. 이 결과는 차원에 따라 점진적으로 증가하는 한계값을 허용했는데, 차원에 독립적인 상수값으로 만드는 것이 목표였다.

AI 에이전트는 고차원 텐서를 포함한 복잡한 계산을 수행하면서 다양한 수학적 경로를 탐색했다. 하지만 방향 설정과 아이디어 선별, 최종 증명의 구성은 인간 연구원의 몫이었다. 이 과정에서 AI가 발견한 '새로운 수학적 기준'이 증명의 토대가 됐다.

핵심 아이디어는 '반복적 재귀 적용'이었다. 초기 개선된 한계값을 같은 논리에 되먹임하면 더 나은 값을 얻는다는 것인데, 이를 반복하면서 의존성을 단계적으로 줄여나갔다. 10월 1일 버전에서는 의존성을 '반복 로그(iterated logarithm)'로까지 축소했다. 이는 매우 천천히 증가하는 함수지만 여전히 차원에 따라 변했다.

최종 단계에서 연구진은 이 재귀 정제 과정 전체를 한 번이 아니라 여러 번 반복했다. 각 단계마다 축적되는 오차들이 충분히 빠르게 감소한다는 증명을 통해, 최종 오차의 합이 차원에 무관한 상수로 유지됨을 보였다. 이 방법론과 누적 오차 증명은 연구진의 순수 창작물이다.

학계의 즉각적 검증과 산업 영향

증명 발표와 같은 날, 별도의 전문가 집단도 동일한 증명을 독립적으로 게시했다. 이후 수학 증명 검증 커뮤니티는 기계 체크(machine-checked formal verification)를 거쳐 핵심 기준의 타당성을 확인했다. 이는 증명의 엄밀성이 학계 표준을 넘는다는 의미다.

KLS 추측의 해결은 고차원 공간에서의 무작위 표본 추출 효율성에 대한 이론적 토대를 확립했다. 이는 기계학습의 샘플링 알고리즘과 확률적 계산의 성능 분석에 방향을 제시한다. 무엇보다 이 결과는 "고차원 공간이 예상보다 훨씬 잘 구성되어 있다"는 깊은 통찰을 의미한다.

인간-AI 협력의 패러다임

이번 성과는 순수 이론 난제 해결에서 AI의 역할 변화를 보여준다. AI는 방대한 수학적 가능성을 체계적으로 탐색하는 보조 도구이며, 인간 연구원은 AI가 생성한 수백 개 경로 중 가장 유망한 것을 판단해 최종 증명으로 조직했다. 이 협력 방식은 앞으로 기초 수학, 물리학, 재료과학 등 이론 영역의 난제 해결에서 참고할 모범이 될 가능성이 크다. 결국 인간의 창의적 판단과 AI의 조직적 탐색이 만났을 때, 31년 묵은 난제도 풀렸던 것이다.